حل معادلة من الدرجة الثالثة

طريقة حل المعادلات التكعيبية

نظرية المعامل والتقسيم الشامل

كافة المعادلات التكعيبية لها جذر حقيقي واحد أو ثلاثة أساس حقيقية ، ويتم استعمال نظرية المعامل والتقسيم المركب كأبسط طريقة لحل المعادلات التكعيبية ، وتتطلب التخمين وبعض العمليات الحسابية ، كما هو موضح أدناه:

• اكتب معادلات تكعيبية في الصورة القياسية.
• أوجد أحد أساس المعادلة التكعيبية عبر التخمين. وتتمثل الطريقة في كتابة مجموعة من الأرقام المقترحة ، ثم استبدالها في المعادلة التكعيبية بدلاً من x ، ويعتبر رقم الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا واحدًا من الجذور ، نفترض أنها (L) ؛ من بينها: a (l) ³ + bx (l) ² + cx (l) + d = ، والجذر عادةً أحد معاملات رقم d ، وهو ثابت المعادلة (أي المنتج يساوي رقم (د) مقسومًا على القيمة الصفرية) فقط عندما تكون ذات قيمة a تساوي 1.
• اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (xl) (x square + power + b) ؛ حيث تشكل L رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا (x-1) تشكل أحد عوامل المعادلة التكعيبية ، و x = 1 يمثل أحد حلول المعادلة.
• استخدم القسمة المركبة لإيجاد مصطلح التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (SL) على النحو التالي:
  • تتم كتابة معاملات المعادلة التكعيبية في السطر الأول ، ثم يتم وضع خط فاصل رأسي على الناحية الأيسر منه ، متبوعًا بـ x = -l ، ويترك خط فارغ أسفل المعامل ، ثم خط أفقي . المكان كما هو موضح أدناه:

أ bcd | س = ل.

ـــ |

——————————

ـــ |

• إذا افترضنا أن المعادلة التكعيبية هي كما يلي: x-5 x مربع -2 x + 24 = 0 ، و (x + 2) أحد عوامل المعادلة ، فإن القسمة المركبة تكون كما يلي:

1-5 -2 24 | س = -2

__________________________ |

——————————

__________________________ |

• اكتب رقم (1) أسفل الخط الأفقي ، وهو رقم الأول من اليمين ، ثم اضربه في (-2) لتحصل على: 1 × -2 = -2 ، واكتب النتيجة أدناه -5 ، على النحو التالي معروض:

1-5 -2 24 | س = -2

ــــ -2 ـــــــــــ |

——————————

1 ــــ ــــ |

• ثم ابحث عن مجموع -5 و -2 ، واكتب النتيجة تحت الخط الأفقي ، كما هو موضح أدناه:

1-5 -2 24 | س = -2

ــــ -2 ــــ |

——————————

1-7 ـــــــــــ |

• كرر المهمة السابقة لـ (-7) ؛ اضربها في رقم (-2) وضع النتيجة في الصف الثاني تحت -2 ، ثم اجمع الرقمين وضع النتيجة تحت الخط الأفقي ، كما يلي:

1-5 -2 24 | س = -2

ــــ -2 ـــــــــــ |

——————————

1 -7 ــــ |

• ثم كرر المهمة حتى يظهر رقم صفر في انتهاء رقم هاتف من رقم أسفل الخط الأفقي ، ويشير مظهره لـ أن الحل صحيح كما هو موضح أدناه:

1-5 -2 24 | س = -2

-2 14-24 |

——————————

1-7 12 0 |

• يمثل الصف السفلي أسفل الخط الأفقي عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س +1): إذن المعادلة التكعيبية س -5-س تربيع -2 س + 24 = 0 مكتوبة كالتالي: (س- تربيع -7 س +12)) (س + 2) = 0.
• يمكن أن يؤدي تحليل المعادلة التربيعية لـ الاستنتاج التالي: (x-7s + 12) = (x-3) (x-4) ، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x-3) (x-4) (x + 2) = 0 يمكن استنتاج أن حل المعادلة التكعيبية هو: س = 3 ، س = 4 ، س = -2.

حل الصيغة العمومية للمعادلة التكعيبية

سيصبح حل المعادلات التكعيبية بشكل عام أطول وأقل سهولة ، وهو مشابه للصيغة العمومية المستخدمة في حل المعادلات التربيعية. في حالة إدخال قيم a و b و c و d للحصول على الحل ، تكون الصيغة كما يلي:

• س = {ك + [ك²+(ر-ع²)³]√} ∛ + {ك- [ك²+(ر-ع²)³]√} ∛ + ص؛ ومع ذلك:
  • P = -b / 3 xa.
  • K = v + (bxc -3 xaxd) / (6 xa²).
  • T = ج / 3 أ.

مثال على حل المعادلة التكعيبية

• المثال الأول: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: 2x + 3x²-11x-6 = 0؟
  • المحلول:
  • أوجد العامل -6 وعوض به في المعادلة لتحل محل x حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا والرقم يساوي 2 ؛ وإلا استبدلها بـ x. من بينها: 2 × (2) + 3 ײ (2) -11 × (2) -6 = 0.
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (x-2) (x square + power + b) ؛ حيث يمثل 2 رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا فإن المصطلح (x-2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية ، و تشكل x = 2 أحد حلول هذه المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد المصطلح الذي يمثل التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) على النحو التالي:

2 3-11 -6 | س = 2

-4 14 6 |

——————————

2 7 3 0 |

• • يمثل الصف السفلي عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + 7 س + ب) مضروبًا في العامل (س -2) ، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: 2 س-س + 3 س تربيع 11 س -6 = 0 ، كما هو موضح أدناه : (2×2 + 7x +3) (x-) 2) = 0.
  • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على التعبير التالي: (2×2 + 7x +3) = (2x + 1) (x + 3) ، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (2x + 1) (x + 3) (x-2)) = 0 الحل الناتج هو: x =-، x = -3، x = 2.

• المثال الثاني: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-7 x square + 4 x + 12 = 0؟
  • المحلول:
  • أوجد عامل رقم 12 ، ثم عوض به في المعادلة لتحل محل x ، حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا ، والرقم هو -1 ؛ حيث: (-1) ³-7 × ( -1) ² + 4 × (-1) + 12 = 0.
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (x +1) (x square + power + b) ؛ حيث يمثل -1 رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا فإن المصطلح (x +1) يمثل أحد عوامل التكعيب المعادلة ، و x = -1 يعني أحد حلول هذه المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد مصطلح التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (Q + 1) على النحو التالي:

1-7 4 12 | س = -1

-1 8 12 |

——————————

1-8 12 0 |

• • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س +1) ، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية س -7 س تربيع + 4x + 12 = 0 على النحو التالي: س -8 -x +12) (X + 12) 1) = 0.
  • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية لإنتاج المعادلة التربيعية: (x-8x +12) = (x-2) (x-6) ، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x-2) (x- 6) (س + 1)) = 0 الحل الناتج هو: س = 2 ، س = 6 ، س = -1.

• المثال الثالث: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: 6x-5x²-17x + 6 = 0؟
  • المحلول:
  • ابحث عن رقم هاتف يحل محل x في المعادلة ، والمعادلة تساوي 0 ، والرقم هو 2 ؛ لذلك ، ابحث عن رقم هاتف يساوي 0. من بينها: 6 × (2) ³-5 × (2) ²-17 × (2) + 6 = 0.
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (x-2) (x square + power + b) ؛ حيث يمثل 2 رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا فإن المصطلح (x-2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية ، و x = 2 يمثل أحد حلول هذه المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد مصطلح التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) على النحو التالي:

6-5-17 6 | س = 2

12 14 6 |

——————————

6 7 -3 0 |

• • يمثل الصف السفلي عامل المعادلة التربيعية (x تربيع + xb) مضروبًا في العامل (x-2) ، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية كـ 6x-5x-17x + 6 = 0 ، كما هو موضح أدناه: (6×2 + 7x- 3) (X-2) = 0.
  • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على التعبير التالي: (6×2 + 7x-3) = (2x + 3) (3x-1) ، بحيث تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (2x + 3) (3x- 1) (x-2)) = 0 ، الحل الناتج هو: x = -1.5 ، x = ⅓ ، x = 2.

• المثال الرابع: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-2 x square-6s + 4 = 0؟
  • المحلول:
  • أوجد عامل رقم 4 وعوض به في المعادلة لتحل محل x حتى تجد العامل الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا ، والرقم هو -2.
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (x + 2) (x square + power + b) ؛ حيث يمثل -2 رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا فإن المصطلح (x + 2) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية ، و x = –2 يمثل حل المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد مصطلح التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (Q + 2) على النحو التالي:

1 -2 6 4 | س = -2

-2 8 -4 |

——————————

1-4 2 0 |

• • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (س تربيع + س + ب) مضروبًا في العامل (س + 2) ، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية x-2 x تربيع -6s + 4 = 0 على النحو التالي: x-4s + 2) (س + 2)) = 0.
  • حلل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العمومية المستخدمة لحل المعادلة التربيعية ، واحصل على: x = 2 ± 2√ ، وبالتالي فإن الحل الذي تم الحصول عليه هو: x = 2 ± √2، x = -2.

• المثال الخامس: أوجد حل المعادلة التكعيبية التالية: x-6 x square + 11 x-6 = 0؟
  • المحلول:
  • أوجد عامل العدد -6 ، ثم عوض به في x في المعادلة حتى تجد رقم الذي يجعل المعادلة تساوي صفرًا ، وهو 1 ؛ وإلا فسيكون 0. من بينها: (1) ³-6 × (1) ² + 11 × (1) -6 = 0
  • اكتب المعادلة بالصيغة التالية: (x-1) (x square + power + b) ؛ حيث يمثل 1 رقم الموجود في الخطوة السابقة ، لذا فإن المصطلح (x-1) يمثل أحد عوامل المعادلة التكعيبية ، و x = 1 يمثل أحد حلول هذه المعادلة.
  • استخدم القسمة المركبة لإيجاد مصطلح التعبير التربيعي (x2 + s + b) ؛ بقسمة المعادلة التكعيبية على (x-2) على النحو التالي:

1-6 11-6 | س = 1

-1-5 6 |

——————————

1-5 6 0 |

• • يمثل الحد الأدنى عامل المعادلة التربيعية (x square + exp + b) مضروبًا في العامل (x-1) ، لذلك يتم التعبير عن المعادلة التكعيبية x-6 x square + 11x-6 = 0 كما يلي: x-5s -6) (X-) 1) = 0.
  • استخدم طريقة متاحة لتحليل المعادلة التربيعية للحصول على: (x-5s + 6) = (x-3) (x-2) ، لذلك تتم كتابة المعادلة التكعيبية على النحو التالي: (x-3) (x -2) ( x-1)) = 0 ، الحل الناتج هو: x = 3 و x = 2 و x = 1.

.

نظرة عامة على المعادلات التكعيبية

يمكن تعريف المعادلة التكعيبية على أنها متعددة الحدود التكعيبية ، وصيغتها العمومية هي كما يلي:

• إكسب + ب س² + ج س + د = 0؛ ومع ذلك:
  • تشكل A و B و C و D أعدادًا مركبة ، تمامًا كما لا يمكن أن تساوي a صفرًا ، والباقي يمكن أن يساوي صفرًا.